بحث در مورد سؤال 15 از آزمون مرحله اول سی و هفتمین دوره المپیاد ریاضی

در مستطیل شکل روبه‌رو، M وسط ضلع AD است. دایره‌ای داخل مستطیل درنظر بگیرید به طوری که بر پاره‌خط‌های BC، DC و MB مماس باشد و محل تماس آن با پاره‌خط MB را P بنامید. اگر MP=AD باشد، نسبت طول به عرض مستطیل کدام است؟ (شکل دقیق نمی‌باشد.)
5/4 2) 2 3) 3/2 4) 5/2 5) 3

3 دیدگاه

  1. gisoo

    BM را امتداد دهید تا امتداد DC را درK قطع کند .دو مثلث KMD & AMB هم نهشت اند. و دایره مفروض دایره محاطی مثلث KBC است لذا برای BP داریم :
    PB=P – KC که Pنصف محیط و از طرفی به خاطر هم نهشتی دومثلث داشتیم : KC=2AC و با ساده کردن عبارت خواهیم دید که : BP=BM-AB+CB/2 *که طبق فرض به جای BM قرار میدهیم : BM =BC +BP که در نهایت با جایگدازی در* : 0=CB-AB+CB/2که ::::::: AB =3BC/2 یعنی گزینه 3

    1. mohammad_rasoulzade

      جوابتون کاملا درسته
      MB را امتداد می دهیم تا ضلع CD را در E قطع کند. از آنجا که MD و BC موازی هستند. می توان نسبت تشابه برای مثلث MDE و BCE نوشت و از آنجا که MD نصف AD یا (BC) است. نتیجه می گیریم که DE=CD و ME=MB هم چنین اگر محل مماس شدن دایره بر ضلع CD را Y و محل تماس دایره با ضلع BC را X بنامیم. می دانیم که : EY=EP , BX=BP , YC=CX با توجه به تساوی اخیر و این که MP=AD (طبق فرض سوال) است. می توان نوشت :
      CD+DY=AD+ME و در نتیجه : 2DY+XC=2AD+BX حال به دو طرف تساوی XC را اضافه می کنیم. 2DY+2XC=2AD+BX+XC پس 2AD+BC=2(DY+XC)
      پس 2AD=3CD پس نسبت طول به عرض 3 به 2 است.

دیدگاهتان را بنویسید