بحث در مورد سؤال 21 از آزمون مرحله اول سی و هفتمین دوره المپیاد ریاضی

چند زوج مرتب حقیقی(a,b) وجود دارد به طوری‌که:
{█((a+b)^3=2(a-b)@3(a-b)^2=4ab)┤

1)0 2)1 3)2 4)3 5) بی‌نهایت

2 دیدگاه

  1. mohammad_rasoulzade

    سمت چپ معادله دوم را بسط می دهیم به راحتی در میابیم که مجموع مربعات a و b برابر 10/3 (کسری) حاصلضرب آنها(ab) است.
    با استفاده از اتحاد مربع کامل برای مجموع a و b به راحتی در میابیم که مجذور حاصلجمع a و b برابر 16/3 (کسری) ab است. (معادله الف)
    معادله الف را بر معادله دوم در صورت سوال تقسیم می کنیم.(در این تقسیم چون ab ساده میشود یک دسته جواب a=b=0 حذف میشود.)
    از آنجا نتیجه میشود که نسبت a+b به a-b برابر 2 یا 2- است.
    با قرار دادن این نسبت در معادله اول صورت سوال میفهمیم که مربع a+b فقط می تواند 1 باشد. (1- غیرقابل قبول است.)
    همینطور با جایگذاری در معادله الف میفهمیم که حاصلضرب ab برابر 16/3 (کسری) است.
    با دانستن مجموع و حاصلضرب این دو متغیر معادله درجه دوم را با علم به اینکه a و b باید هم علامت باشند (طبق معادله دوم) حل کرده و به جواب میرسیم:
    a=3/4 , b=1/4 ;;;;; a=-3/4,b=-1/4 ;;;;; a=b=0 پس سه زوج مرتب داریم

دیدگاهتان را بنویسید