بحث در مورد سؤال 2 از آزمون مرحله دوم سی و ششمین دوره المپیاد ریاضی

فرض کنید n عدد حقیقی متمایز روی تخته نوشته شده است. به جای این اعداد، اختلاف دوبه‌دوی آن‌ها را می‌نویسیم. ثابت کنید اگر n فرد باشد، {n\choose 2} عدد مثبت به‌دست آمده را می‌توان به دو دسته تقسیم کرد که مجموع اعداد دو دسته با هم برابر باشد.

9 دیدگاه

  1. Ali Ch

    با یک روش ساده می شه مستقیم حلش کرد:
    فرض کنین عدد هاa1 تا an باشن؛اگر همه ی اختلافا رو به شکل زیر بنویسیم به گونه ای که هر عدد که 1-n با(که زوج است)تکرار می شود،در نصف حالات پشتش علامت منفی و در بقیه حالات پشتش علامت مثبت باشه،واضح است که حاصل عبارت زیر صفر می شود!
    (a1-a2) + (a3-a1) + (a1-a4)+ … + (an-a1)
    (a2-a3) + (a4-a2) + … +(a2-an)+

    0=(an-1 – an)+
    حالا اگه تمام پرانتز هایی که حاصلشون منفی شده رو به طرف دیگه ی معادله منتقل کنیم،یک معادله داریم با دو طرف مثبت که همان خواسته ی مساله است!یعنی اختلاف ها به دو دسته(دو طرف معادله)با مجموع برابر تقسیم شدن.

      1. Ali Ch

        دوست عزیز،آخرش پرانتز هایی که حاصلشون منفی شده(عدد کوچکتر منهای عدد بزرگتر شده)،به طرف دیگه ی معدله منتقل می شن تا به عدد بزرگتر منهای عدد کوچکتر تبدیل بشن!و این همون خواسته ی مساله است(اختلاف ها در دو طرف معادله یا دو سته با مجموع برابرند)

  2. dorsa riazi11

    با توجه به فرض سوال تما اعداد جدید بعد از انجام عملیات مذکور در سوال را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:
    a1-a2 , a1-a3 ,a1-a4 ,……………….,a1-an-1 ,a1-an,
    a2-a3,a2-a4,……….,a2-an-1,a2-an,………………………………,an-2-an-1,an-2-an,an-1-an
    مبتوانیم بگوییم تعدادa1 ها برابر با n-1 است و تعداد a2 ها جمعا با علامت مثبت و منفی برابر با n-3 است به همین ترتیب برای a3 میتوانیم بگوییم تعدادش n-5 است و………………………تعداد an برابر با n-1 میباشد و از آنجایی که n عددی فرد است تعداد تمام اعداد مذکور در توضیحات بالا عددی زوج است و این بدین معناست که میتوانیم آنها را تقسیم بر دو کرده و در دو طرف یک تساوی که به صورت تفاضل اعداد از a1 تا an است بنویسیم.و لازم به ذکر است به دلیل تقارت می توانیم فرض کنیم:
    a1>a2>a3>……………………..>an

    1. matin

      حل من هم از این موضوع استفاده کرد. ولی تنها با اکتفا به این نکته نمیتوان اطمینان حاصل نمود. باید الگوریتمی را معرفی کرد که بتواند این اعداد را به صورتی قرار دهد که در هر دسته پس از جمع شدن اعداد از هر کدام برابر
      n(ai)=((n-1)-((n-I)*2))/2
      باشد. توجه شود که در صورت منفی شدن منظور این است که به ان تعداد از قرینه عدد مورد نظر در دسته ها ایجاد شود.
      برای مثال 2/(n-1) تا a1- در هر دسته ایجاد شود

پاسخ دهید